Đường trực tâm là một trong những kiến ​​thức toán học quan trọng trong Toán 7, 8 nhưng cho đến nay nhiều bạn vẫn chưa biết thế nào là trực tâm, bản chất của trực tâm cũng như cách tính và giải bài toán đường trung trực.

Đừng lo, nhóm invert của chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu thế nào là đường trung trực, tính chất, ký hiệu của nó và cách giải các bài tập về đường trung trực. Đơn giản không kém, chi tiết và có thể truy cập thông qua các bài viết sau.

Bạn đang xem: đường trung trực là gì cách chứng minh

Tôi. Đường giữa là gì?

Định nghĩa: Trong hình học phẳng, đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ:d là đường trung trực của đoạn thẳng ab, vì m là trung điểm của ab nên d vuông góc với ab tại m.

Đường trung trực của tam giác là gì?

Định nghĩa: Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác.

Thuộc tính:

• Trong 1 tam giác có 3 đường trung trực đồng quy tại 1 điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
• Trong một tam giác cân, đường trung trực của đáy đồng thời là đường trung trực, đường phân giác và đường cao của đỉnh đối diện với cạnh đó.
• Trong không gian 3d, quỹ đạo này kéo dài đến mặt phẳng trực giao của đoạn thẳng.

Cách vẽ đường thẳng đứng

– Dùng compa: Xoay 2 hình tròn có tâm là cuối đoạn thẳng có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng (hoặc ít nhất lớn hơn 1/2 độ dài đoạn thẳng). Khi đó đường phân giác vuông góc là đường nối các giao điểm của hai đường tròn này.

– Dùng thước và eke: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng cần vẽ.

Hai. Thuộc tính trung vị

Các tính chất của các đường trực giao là gì?

1. Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

Cho hình vẽ, d là đường trung trực của đoạn thẳng ab.

Ta nói: a đối xứng qua b đến d.



Giả sử: d là trung trực của ab, m ∈ d

=>ma = mb

Giả sử: Chứng minh được ma = mb => m thuộc đường phân giác đứng của ab

Lưu ý: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Cho hình vẽ, điểm o là giao điểm của các đường trung trực của Δabc.

Ta có oa = ob = oc. Điểm o là tâm đường tròn ngoại tiếp abc



3. Tính chất đường trung trực của tam giác cân

Trong một tam giác cân, đường trung trực vuông góc với đáy còn được gọi là đường phân giác, cả đường trung trực và chiều cao đều xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.



4. Tính chất đường trung trực của tam giác vuông

Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền là giao điểm của ba đường phân giác. Tam giác abc vuông góc với b và giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm e của cạnh huyền ac.

5. Các tính chất về đường trung tuyến và đường tròn ngoại tiếp tam giác

Áp dụng tính chất giao điểm của ba góc vuông trong một tam giác: Giao điểm của ba góc vuông trong một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. o là giao điểm ba đường trung trực của tam giác abc. Khi đó o là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác abc.



Ba. Cách chứng minh phương thẳng đứng

Có 5 cách chứng minh d là tia phân giác của đường thẳng ab:

• Cách 1:Chứng minh d vuông góc với ab tại trung điểm ab
• Cách 2: Chứng minh 2 điểm trên d cách đều hai điểm a và b
• Cách 3: Sử dụng thuộc tính trung vị và cao trình
• Phương pháp 4: Áp dụng đối xứng trục
• Cách 5: Áp dụng tính chất đoạn thẳng nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm.



Bốn. Các dạng bài tập chứng minh đường trung trực

Cách chứng minh trung bình cộng lớp 6, 7, 8 thường có nhiều yêu cầu khác nhau nhưng nhìn chung sẽ có 5 dạng cơ bản:

– Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác abc vuông góc với a, tia phân giác của góc b cắt cạnh ac tại điểm d. Trên cạnh bc lấy điểm e sao cho: be = ab. Chứng minh: ad = de.



Xét tam giác abd và tam giác ebd, có:

bd là cạnh chung

be = ab(đã cho)

Góc abd = góc dbe (vì bd là tia phân giác của góc b)

=>tam giác abd = tam giác ebd (c.g.c)

=> ad = de (được chứng minh).

– Dạng 2: Chứng minh d là đường trung trực của a b (Cơ bản

Ví dụ: Chứng minh rằng đường thẳng pq là đường trung trực của đoạn thẳng mn.



p, q là giao điểm của hai cung tròn có tâm là m và n, cùng bán kính nên:

pm = pn (= bán kính cung).

qm = qn (= bán kính cung).

Suy ra p và q nằm trên cùng một tia phân giác của đoạn thẳng mn.

Vậy pq là đường trung trực của đoạn thẳng mn.

– Dạng 3: Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giải: Áp dụng tính chất cắt đường trung trực của các tam giác.

– Dạng 4: Đường phân giác của tam giác cân.

Ví dụ: Cho ba tam giác cân abc, dbc, ebc có chung đáy là bc. Chứng minh rằng các điểm a, d, e thẳng hàng.

Lời giải: Vì abc cân bằng khi a ab = ac

⇒ a thuộc tia phân giác của bc.

Vì dbc nằm trong d db = dc

⇒ d thuộc đường trung trực của bc

Vì trọng lượng của ebc là e eb = ec

⇒ e thuộc tia phân giác của bc

Vậy a, d, e thuộc đường trung trực của bc

Vậy a,d,e thẳng hàng

– Bảng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất

Ví dụ: Đối với hình bên dưới, m là một điểm bất kỳ trên đường thẳng a. Vẽ điểm c sao cho đường thẳng a là đường trung trực của ac.

a) So sánh ma + mb với bc.

b) Tìm vị trí của điểm m trên đường thẳng a sao cho ma + mb nhỏ nhất.



Giải pháp:

a) Gọi h là giao điểm của a và ac

Δmha = Δmhc (c.g.c) => ma = mc.

Do đó:

ma + mb = mc + mb.

Gọi n là giao điểm của a và bc (chứng minh na = nc).

Nếu m không bằng n thì:

ma + mb = mc + mb > bc (bất đẳng thức trong bmc).

Nếu m trùng với n thì:

ma + mb = na + nb = nc + nb = bc.

So ma + mb bc.

b) Từ a) suy ra khi m và n trùng nhau thì tổng ma+mb nhỏ nhất.

– Dạng 6: Các bài toán về đường phân giác của tam giác vuông

Ví dụ 1: Tam giác abc vuông tại b, ab = 6cm, bc = 8cm. Gọi e là giao điểm ba đường trung trực của tam giác abc. Tính độ dài khoảng cách từ e đến ba đỉnh của tam giác abc?



Giải: Vì e là giao điểm ba đường trung trực của tam giác abc nên ta có:

ea = eb = ec

Tam giác abc vuông góc với b nên e là trung điểm của ac

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác abc ta được:



v. Một số bài tập về đường trung tâm

1. Bài tập đường thẳng có lời giải

Bài tập 1: Ba tam giác cân abc, dbc, ebc có chung đáy là bc. Chứng minh rằng các điểm a, d, e thẳng hàng.

Giải:Vì Δabc cân bằng khi a ⇒ ab = ac

⇒ a thuộc tia phân giác của bc.

Vì dbc nằm trong d db = dc

⇒ d thuộc đường trung trực của bc

Vì trọng lượng của ebc là e eb = ec

⇒ e thuộc tia phân giác của bc

Vậy a, d, e thuộc đường trung trực của bc

Vậy a,d,e thẳng hàng

Xem thêm: Các hướng trong tiếng Anh: Ký hiệu, phiên âm và mẹo ghi nhớ đơn giản

Poster 2: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến và một đường phân giác thì tam giác đó là tam giác gì?

Một. tam giác vuông

b. Tam giác cân

c. Tam giác đều

d. Tam giác vuông cân

Giải pháp: Giả sử rằng Δabc có trung vị và cũng là trung vị. Ta sẽ chứng minh Δabc là tam giác cân. Thực ra, vì am là trung vị của Δabc (gt) ⇒ bm = mc (tính chất trung vị)

Vì am trực giao với bc am bc

Xét hai tam giác vuông abm và acm:

bm = cm (cm)

có điểm chung

⇒ abm = acm (hai cạnh góc vuông)

⇒ ab = ac (2 cạnh tương ứng) ⇒ abc cân tại a

Chọn đáp án đ

Bài tập 3: Cho tam giác abc ab có ac >, đường phân giác ad. Lấy một điểm e trên ac sao cho ae = ab. Bằng chứng rằng quảng cáo là dọc.

Người chiến thắng:



Tham gia để trở thành và giáo dục

Xét rằng adb và ade có:

Phía quảng cáo công khai

∠bad = ead (ad là tia phân giác của góc bac)

ab = ae (gt)

Do đó: adb = ade (c-g-c)

Suy ra db = de

có ab = ae (gt)

Vậy ad là tia phân giác vuông góc của be

Hay quảng cáo vuông góc với

Bài toán 4: Cho m là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ab. Nếu ma dài 5cm thì mb dài bao nhiêu cm?

Lời giải: Vì điểm m nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ab nên theo định lý tính chất điểm trên đường trung trực thì ma = mb. mà ma = 5cm (gt) suy ra mb = 5cm.

Bài toán 5: Chứng minh rằng đường thẳng pq vẽ như hình vẽ là đường phân giác của đoạn thẳng mn.

Người chiến thắng:

Ta có: hai cung tròn có tâm m, n bán kính bằng nhau cắt nhau tại p, q.

Vậy mp = np và mq = nq

⇒ p; q cách đều hai đầu mút m và n của đoạn thẳng mn

Định lý 2 cần tuân theo: p; q thuộc trung trực của mn

Hoặc một đường thẳng đi qua p, trong đó q là trung trực của mn.

Vậy pq là trung trực của mn.

Bài 6: Cho đoạn thẳng ab thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm m thuộc d sao cho m cách đều hai điểm a, b.

Giải: Vẽ trung tuyến xy của đoạn thẳng ab



Giả sử xy cắt d tại điểm m, ta có: ma = mb

+ nếu ab ⊥ d thì xy // d, không xác định được điểm m

+ Ngoại trừ trường hợp ab ⊥ d, ta luôn có thể chắc chắn rằng điểm m và m là duy nhất.

Bài 7: Tam giác abc. Gọi m, n lần lượt là trung điểm của ab và ac. Vẽ các đường trung trực của các cạnh ab, ac và bc lần lượt cắt nhau tại d và e. Các tam giác abd và aec là gì?

Người chiến thắng:

Vì dm là tia phân giác của cạnh ab nên da = db

Suy ra tam giác adb cân tại d

Vì en là tia phân giác của cạnh ac nên ea = ec

Suy ra tam giác aec cân tại e



2. Bài toán đường thẳng nan giải

Bài 1: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến và một đường phân giác thì tam giác đó là tam giác gì?

A. tam giác vuông

Tam giác cân

Tam giác đều

Tam giác vuông cân

Câu hỏi 2: Δabc là hình vuông tại a, ∠c = 30° và đường trung trực của bc cắt ac tại m. Hãy chọn câu đúng:

A. bm là đường trung bình của abc

bm = ab

bm là tia phân giác của abc

bm là đường phân giác đứng của abc

Bài tập 3: Cho điểm c nằm trên đường trung trực của đường thẳng ab. Biết rằng ca = 10 cm. Độ dài đoạn thẳng cb là:

A. cb = 10cm

cb = 20 cm

cb = 30cm

cb = 40 cm

Câu hỏi 4: Cho Δabc cân tại a, có ∠a = 40° và đường trung trực của ab cắt bc tại d. tính cad

A. 30°

45°

60°

40°

Sau 5. là đoạn thẳng ab. Gọi o là trung điểm của ab. Đường thẳng ab nằm trong hai nửa mặt phẳng bờ biển lấy hai điểm m và n sao cho ma = mb và na = nb.

A. mn dòng chéo o

mn vuông góc với ab

Đường thẳng mn vuông góc với ab tại o

mn song song với ab

Bài tập 6: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng ab tại điểm m, n nằm trong hai nửa của hai mặt phẳng đối nhau giới hạn bởi đường thẳng ab.

a) Chứng minh góc man = góc mbn

b) mn là tia phân giác của amb.

Bài tập 7: Cho hai điểm a, b cùng nằm trên một mặt phẳng, cạnh là đường thẳng d. Vẽ điểm c sao cho d là trung trực của đường thẳng bc, ac cắt d và e. Lấy điểm m bất kì trên d.

a) So sánh ma + mb và ac

b) Tìm vị trí của m trên d sao cho ma + mb ngắn nhất

Bài 8: Cho tam giác abc, góc vuông tại a, đường cao. Vẽ trục trung trực của các cạnh ac sand bc tai i và sand ac tai e.

a) Hãy giải thích ia = ib = ic.

b) Gọi m là trung điểm của đoạn thẳng ai, chứng minh mh = me

c) Cắt ai tại n và tính tỉ số của đoạn mn với ai

Bài 9: Tam giác abc cân tại a. Hai đường trung trực bm, cn cắt nhau tại i. Các đường phân giác trong của góc b và c cắt nhau tại o. Các đường phân giác của các cạnh ab và ac cắt nhau tại k.

a) Chứng minh: bm = cn.

b) chứng minh rằng ob = oc

c) Chứng minh các điểm a, o, i, k thẳng hàng.

bài 10: Cho góc quay = 50, điểm a nằm ở góc quay. Vẽ điểm m sao cho ox là trực giao với đoạn thẳng an và vẽ điểm m sao cho oy là trọng tâm của đoạn thẳng am.

a) Chứng minh: om = on

b) Tính số đo góc mon

Bài 11: Cho tam giác tù abc có góc a. Các đường trực giao của ab và ac lần lượt cắt nhau tại o và bc tại d và e.

a) Các tam giác abd, át là gì.

b) Đường tròn có tâm là o và kinh tuyến đi qua những điểm nào trong hình?

Bài 12:Cho 4 điểm a, b, c, d khác nhau. Trong trường hợp nào sau đây, đoạn thẳng ac là đường trung trực của đoạn thẳng bd?

Bài tập 13: Cho hai điểm m, n nằm trên đường trung trực của đường thẳng ab. chứng minh rằng amn = bmn

Xem thêm: Lá phát ban tây bắc là lá gì

Poster 14: Ba tam giác abc, dbc, ebc có cùng đáy là bc. Chứng minh 3 điểm a, d, e thẳng hàng

Bài tập 15: Giả sử m là một điểm nằm trên đường trung trực của đường thẳng ab. Cho ma = 5cm. Độ dài của mb bằng bao nhiêu?

3. Chứng minh đường tiệm cận bậc 7 có nghiệm

Bài 44 (SGK Toán 76 Tập 2): Gọi m là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ab đối với đoạn thẳng ma có độ dài 5cm. độ dài của mb là bao nhiêu?

Lời giải: Điểm m nằm trên đường phân giác đứng của ab

=> ma = mb (định lý tiến)

Vì ma = 5cm nên mb = 5cm

Kiến thức vận dụng: Theo định lý tính chất điểm nằm trên đường trung trực (định lý thuận): khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng đó bằng nhau.

p>

Poster 45 (SGK Toán 2, tr. 76): Chứng minh đường thẳng pq vẽ như hình vẽ là đường trung trực của đoạn thẳng

Giải: Ta có: Hai cung tròn có tâm là m và n, có bán kính bằng nhau, cắt nhau tại p, q.

Vậy mp = np và mq = nq

=> ; q cách đều hai đầu mút m và n của đoạn thẳng mn

Nên tuân theo Định lý 2: p; q là đường thẳng đứng của mn hay đường thẳng đi qua p, và q là đường thẳng đứng của mn.

Vậy pq là trung trực của mn.

Bài 46 (SGK Toán 76 Tập 2): Cho ba tam giác cân abc, dbc, ebc có cùng đáy là bc. Chứng minh rằng các điểm a, d, e thẳng hàng.

Giải:Vì Δabc cân bằng khi a ab = ac

=> a thuộc tia phân giác của bc.

Vì dbc nằm trong d db = dc

=> d thuộc đường phân giác đứng của bc

Vì trọng lượng của ebc là e eb = ec

=>e thuộc đường phân giác đứng của bc

Vậy a, d, e thuộc đường trung trực của bc

Vậy a,d,e thẳng hàng

Bài 47 (SGK Toán 76 Tập 2): Cho hai điểm m, n nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ab. Chứng minh rằng amn = bmn.

Người chiến thắng:



Vì m thuộc đường trung trực của ab

=> ma = mb (định lý tỉ lệ về tính chất của từng điểm trên đường thẳng)

n thuộc đường trung trực của ab

=> na = nb (định lý tỉ lệ về tính chất của điểm trên một đường thẳng đứng)

Vậy amn và bmn có:

am = bm (cmt)

Hàng triệu người bình thường

an = bn (cmt)

Δamn = Δbmn (c.c.c)

Bài 48 (SGK Toán 77 Tập 2): Hai điểm m và n cùng nằm trên một nửa mực nước bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm l đối xứng với m qua xy. Hãy để tôi là một điểm trong xy. So sánh im + in với ln.

Lời giải: Vì l và m đối xứng nhau qua đường thẳng xy nên xy là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với ml.

Vậy xy là tia phân giác của ml.

I xy => im = il (theo Định lý 1).

Vì vậy im + in = il + in

th1: nếu i, l, n thẳng hàng

=>il + in = ln (vì n và l đối nhau trên xy và i nằm trên xy).

=>im + in = ln

th2: Nếu i không phải là giao điểm của ln và xy thì i, l, n không thẳng hàng

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho Δ inl ta được: il + in >;

mà im = il (cmt)

=>il + print > ln(bất đẳng thức tam giác)

=>i + in >

Vì vậy, với mọi vị trí của i trong xy, im + trong ln

Bài 49 (SGK Toán Trang 77 Tập 2): Hai nhà máy được xây dựng bên bờ sông tại địa điểm a và b (h.44). Tìm trạm bơm tại điểm c trên bờ sông để dẫn nước cho hai nhà máy sao cho chiều dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất?

Giải pháp: Gọi tuyến xy là bờ sông cần xây dựng trạm bơm.



=> Đến đây lại nảy sinh bài toán: hai điểm a, b cố định nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. Tìm vị trí của điểm c trên đường thẳng xy sao cho ca + cb là cực tiểu.

Gọi a là điểm đối xứng của a qua đường thẳng xy.

Như hình ở Bài 48, ta có: ca + cb = ca + cb ab (ab cố định).

=> ca + cb ngắn bằng ab.

Dấu

= xuất hiện khi ca+cb = ab, nghĩa là a; b; c thẳng hàng hoặc c là giao điểm của ab và xy.

Vậy trạm bơm nằm ở giao điểm của đường xy và đường ab, trong đó a là điểm đối xứng đi qua xy và a

Poster 51 (tr. 77 SGK Toán Tập 2): Đường thẳng d và điểm p không thuộc d. Hình 46 minh họa cách sử dụng thước kẻ và compa để dựng đường vuông góc với đường thẳng d đi qua điểm p như sau:

(1) Lấy p làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính thích hợp cắt d tại hai điểm a và b.

(2) Vẽ hai đường tròn có bán kính bằng nhau có tâm là a và b sao cho chúng cắt nhau. Gọi giao điểm của chúng là c(c p)

(3) vẽ đường pc.

Chứng minh rằng đường thẳng pc vuông góc với d.

Người chiến thắng:

a) Ta có: pa = pb (a; b nằm trên cung có tâm p) nên p nằm trên đường trung trực của ab. ca = cb (c nằm trên 2 cung bán kính bằng nhau có tâm là a và b) nên c nằm trên đường trung trực của ab.

Vậy cp là đường trung bình của ab, pc là d.

b) Một phương pháp vẽ khác



Lấy hai điểm a, b bất kỳ trên d.

Lấy a làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính a, lấy b làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính bp. Hai cung cắt nhau tại c (c khác p).

Vẽ một máy tính dòng. Khi đó pc là đường thẳng đi qua p và vuông góc với d

Bằng chứng:

Theo Định lý 2:

pa = ca (p, c cùng thuộc một cung, tâm là a, bán kính là pa)

=> a thuộc đường phân giác đứng của pc.

pb = cb (p, c cùng thuộc một cung, tâm là b, bán kính là pb)

=> b thuộc đường trung trực của pc.

=> ab là đường phân giác đứng của pc

=> pc ab hoặc pc d.

4. Cách chứng minh 8 dạng trực giao & bài tập và cách giải

Bài tập 1: Tìm các vectơ pháp tuyến của a(1;-4) và b(3;2) và viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng ab.

Người chiến thắng:

Véc tơ ab = (3 1 ; 2 (-4)) = (2; 6) = 2 (1; 3)

=>Vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng ab là: vectơ n = (1; 3)

Cho i(x;y ) là trung điểm của ab

x = (1 + 3 ) / 2 = 2

Và y = (-4 + 2)/2 = -1

=>i(2; -1)

Phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng ab:

a(x x0) + b(y y0) = 0

; x 2 + 3(y + 1 ) = 0

=>x + 3y + 1 = 0

Bài tập 2: Cho hai điểm a(1;0) và b(1;2). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng ab.



Viết phương trình đường thẳng theo vectơ pháp tuyến.



Trên đây là định nghĩa đường trung tuyến là gì,tính chất, chỉ số và cách giải nhanh bài tập đường thẳng Nhóm nghịch đảo viết. Mong rằng qua bài viết các bạn đã hiểu đầy đủ thế nào là đường trung tuyến, đồng thời có thể dễ dàng giải các bài tập về đường trung trực. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc các bạn thành công.

Xem thêm: Ý nghĩa ngày cá tháng Tư – 01/04 – GLC Edu